ALJABAR BOOLEAN
SISTEM DIGITAL(ALJABAR BOOLEAN) Aljabar Boolean adalah aljabar matematika yang hanya memiliki 2 bilangan yaitu 0 dan 1 (bilangan biner), aljabar boolean disebut juga penjabaran teknik logika x dan y dimana di dalam programnya terdapat diantaranya: AND, OR, dan NOT yang nanti akan saya jelaskan dibawah. Fungsi logika
Mungkin fungsi logika pada matematika ada banyak, diantaranya permutasi, combinasi, komutatif, asosiatif, dan lain lain yang sering kita pelajari di sekolah, namun pada fungsi logika yang akan kita bahas adalah fungsi logika yang terdapat dalam CU (control unit) pada CPU (komputer). Komputer memiliki fungsi logika yang sama seperti logika matematika, hanya saja fungsi ini hanya menjawab 2 jawaban saja yakni true atau false (0 atau 1), contoh: 1+1=0 (simpan 1), ini menandakan angka 1 jika di AND dengan 1 hasilnya 0 (true) bukan 2, hal in i bersifat sama seperti bilang biner. Negasi dari suatu aljabar boolean menunjukan bahwa perubahan perintah dari true menjadi false seperti x (negasi x), namun jika dinegasikan lagi maka akan kembali seperti awal seperti ~(~x)=x, hal ini disebut involution, ini terdapat pada hukum De' Morgan.
Fungsi AND dan XAND
Fungsi AND dan XAND adalah fungsi dimana x dan y ditambahkan seperti tabel diatas:
TABEL FUNGSI AND
Ini menandakan bahwa pada fungsi AND nilai x dan y jika salah satunya true maka akan true, sedangkan jika dua-duanya false maka Jawabannya false, fungsi AND diibaratkan dengan penggabungan 2 buah nilai yang berbeda, sedangkan pada XAND adalah sebuah fungsi negasi dari AND.
FUNGSI OR DAN XOR
Fungsi ini sering disebut fungsi perbandingan, karena pada fungsi ini Jikalau salah satunya false maka hasilnya akan false pula, seperti tabel berikut:
Dan XOR adalah negasi dari OR.
Seperti yang telah kita ketahui diatas, bahwa aljabar boolean sama seperti aljabar yang lainnya, seperti fungsi logika yang memiliki AND, OR, PERMUTASION dan COMBINATION (hanya saja permutasi dan combinasi tidak akan saya jelaskan), dan seperti yang kita ketahui lagi ternyata komputer pun memiliki sistem prosesnya melalui logika yang sering kita gunakan.
A. PENGERTIAN ALJABAR BOOLEAN
Aljabar boolean adalah aljabar yang berhubungan dengan variabel biner dan operasi logik, dimana aljabar boolean adalah sistem matematika yang terbentuk dari 3 operator logika berupa "negasi", Logika "AND" dari "OR". Selain simbol logika "0" dan "1" yang digunakan untuk merepresentasikan masukan atau keluaran digital, kita juga dapat menggunakannya sebagai konstanta pada rangkaian terbuka atau rangkaian tertutup secara permanen. Serangkaian aturan dari ekspresi Aljabar Boolean telah diciptakan untuk membantu mengurangi jumlah gerbang logika dasar yang dibutuhkan dalam melakukan operasi logika tertentu sehingga akan dihasilkan daftar fungsi atau teorema yang dikenal umum sebagai Hukum Aljabar Boolean. Aljabar Boolean adalah operasi matematika yang berguna dalam menganalisis gerbang dan rangkaian digital, dengan menggunakan "Hukum Boolean" ini maka akan dapat mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean yang kompleks dengan maksud untuk mengurangi jumlah gerbang logika yang diperlukan. Oleh sebab itu, Aljabar Boolean adalah sistem em matematika yang didasarkan pada logika yang memiliki seperangkat aturan atau hukum yang berguna dalam menentukan, mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean. Variabel yang digunakan dalam Aljabar Boolean hanya memiliki dua kemungkinan yaitu logika "0" dan logika "1" tetapi ekspresi jumlah variabel yang dihasilkan tak terbatas yang semuanya dilabeli secara individual untuk mewakili masukan ke ekspresi. Sebagai contoh, sebuah variabel A, B, C dll, dihasilkan sebuah ekspresi logis yaitu A + B = C, tetapi setiap variabel HANYA dapat berupa 0 atau 1. Perhatikanlah tabel diabawah ini yang menjelaskan mengenai hukum boolean, aturan dan teorema Aljabar BooleanB. TABEL KEBENARAN HUKUM ALJABAR BOOLEAN
C. FUNGSI ALJABAR BOOLEAN
Berdasarkan penjelasan sebelumnya, maka gerbang dasar AND, OR, NOT 2 masukan akan menghasilkan 16 fungsi yang ditunjukan pada tabel dibawah.
D. OPERASI ALJABAR BOOLEAN DUA VARIABEL DAN TIGA VARIABEL
Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aljabar Boolean dua dan tiga variabel maka digunakan sifat identitas, disamping itu prinsip dualitas juga digunakan pada sifat-sifat identitas.
Jika A, B, dan C adalah Variabel Boole maka berlaku hukum/sifat berikut
a. Hukum Komutatif
Hukum Komutatif menjelaskan bahwa penukaran atau perubahan urutan variabel masukan atau sinyal masukan sama sekali tidak mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika.
komutatif (pertukaran):
— A + B = B+A
— A . B = B . A
b. Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif menjelaskan bahwa perubahan urutan penyelesaian operasi pada variabel tidak akan mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika.
asosiatif (pengelompokan):
— A + (B + C) = (A + B) + C
— A . (B . C) = (A . B) . C
c. Hukum Distributif
Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel masukan pada operasi jabar Boolean dapat disebarkan tempatnya tanpa mengubah variabel asil dari keluaran suatu rangkaian logika.
distributif (penBebaran):
— A . (B + C) = A . B + A . C
— A + B . C = (A + B) . (A + C)
d. Hukum Absorbsi, Kombinasi, dan Konsensus
absorbsi (penghilangan): │ kombinasi:
— A + A . B = A — A . (A + B) = A
— A . B + A . B = A — (A + B) . (A + B) = A
konsensus:
— A . B + B . C + A̅ . C = A . B + A̅ . C
— (A + B) . (B + C) . (A̅ + C) = (A + B) . (A̅ + C)
e. Sifat Identitas lain
Sifat-sifat identitas lain:
— A + A̅ . B = A + B
— A . (A̅ + B) = A . B
Beberapa sifat pada teorema Boolean dapat dipergunakan untuk menyederhanakan suatu pernyataan logika, dengan kata lain suatu pernyataan kompleks akan dapat disederhanakan dengan menggunakan konsep teorema Boolean tanpa mengubah fungsi logikanya.
E. PRIORITAS OPERASI ALJABAR BOOLEAN
Pada teorema Aljabar Boolean dikenal 3 operasi logika yaitu operasi logika OR,AND, dan NOT sehingga dapat dihasilkan berbagai bentuk fungsi logika. Demi memudahkan dalam pengoperasianya maka dipergunakan tanda kurung untuk memberikan prioritas. Pada dasarnya konsep prioritas operasi ini tidak ada bedanya dengan konsep prioritas pada operasi aritmatika.
Berikut aturan prioritas operasi Aljabar Booolean
1. Bila terdapat tanda kurung maka diselesaikan terlebih dahulu.
2. Bila tidak terdapat tanda kurung, maka suatu penyataan logika diselesaikan dengan urutan: NOT, AND setelah itu OR.
F. FUNGSI BOOLEAN
Dalam Aljabar Boolean, variable x disebut peubah Boolean. Fungsi Boolean adalah ekspresi yang dibentuk dari peubah Boolean melalui operasi penjumlahan, perkalian, atau komplemen.
Contoh:
f(x) = x
f(x,y) = x²y + x
3. g(x,y,z) = (x + y)' + xyz'
Selain dengan cara aljabar, fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran. Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menyatakan seluruh kemungkinan nilai peubah dari fungsinya. Jika suatu fungsi Boolean memuat n peubah, maka banyaknya baris dalam tabel kebenaran ada 2".
Contoh: f(x,y,z) = xyz' + x
Fungsi Boolean tidak unik (tunggal), artinya dua fungsi yang ekspresinya berbeda dikatakan sama jika keduanya mempunyai nilai yang sama pada tabel kebenaran untuk setiap kombinasi peubah- peubahnya.G. BENTUK STANDAR FUNGSI BOOLEAN
Ada 2 bentuk standar fungsi Boolean :
Sum of Product (SOP) / Minterm
Product of Sum (POS) / Maxterm
Sum of Product Ciri - ciri:
Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah perkalian.
Setiap suku (term) dijumlahkan.
Setiap suku mengandung semua variabel. Contoh:
f(x,y) = xy + x'y
g(x,y,z) = x'yz + xyz + x'y'z' Cara membaca:
Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 1.
Variabel dengan komplemen dibaca 0.
Product of Sum Ciri - ciri:
Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah penjumlahan.
Setiap suku (term) dikalikan.
Setiap suku mengandung semua variabel. Contoh:
f(x,y) = (x'+ y) (x + y')
g(x,y,z) = (x + y + z') (x' + y + z) (x + y + z) Cara membaca:
Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 0.
Variabel dengan komplemen dibaca 1.
Fungsi AND dan XAND
Fungsi AND dan XAND adalah fungsi dimana x dan y ditambahkan seperti tabel diatas:
TABEL FUNGSI AND
Ini menandakan bahwa pada fungsi AND nilai x dan y jika salah satunya true maka akan true, sedangkan jika dua-duanya false maka Jawabannya false, fungsi AND diibaratkan dengan penggabungan 2 buah nilai yang berbeda, sedangkan pada XAND adalah sebuah fungsi negasi dari AND.
FUNGSI OR DAN XOR
Fungsi ini sering disebut fungsi perbandingan, karena pada fungsi ini Jikalau salah satunya false maka hasilnya akan false pula, seperti tabel berikut:
Dan XOR adalah negasi dari OR.
Seperti yang telah kita ketahui diatas, bahwa aljabar boolean sama seperti aljabar yang lainnya, seperti fungsi logika yang memiliki AND, OR, PERMUTASION dan COMBINATION (hanya saja permutasi dan combinasi tidak akan saya jelaskan), dan seperti yang kita ketahui lagi ternyata komputer pun memiliki sistem prosesnya melalui logika yang sering kita gunakan.
A. PENGERTIAN ALJABAR BOOLEAN
B. TABEL KEBENARAN HUKUM ALJABAR BOOLEAN
C. FUNGSI ALJABAR BOOLEAN
D. OPERASI ALJABAR BOOLEAN DUA VARIABEL DAN TIGA VARIABEL
Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aljabar Boolean dua dan tiga variabel maka digunakan sifat identitas, disamping itu prinsip dualitas juga digunakan pada sifat-sifat identitas.
Jika A, B, dan C adalah Variabel Boole maka berlaku hukum/sifat berikut
a. Hukum Komutatif
Hukum Komutatif menjelaskan bahwa penukaran atau perubahan urutan variabel masukan atau sinyal masukan sama sekali tidak mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika.
komutatif (pertukaran):
— A + B = B+A
— A . B = B . A
b. Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif menjelaskan bahwa perubahan urutan penyelesaian operasi pada variabel tidak akan mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika.
asosiatif (pengelompokan):
— A + (B + C) = (A + B) + C
— A . (B . C) = (A . B) . C
c. Hukum Distributif
Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel masukan pada operasi jabar Boolean dapat disebarkan tempatnya tanpa mengubah variabel asil dari keluaran suatu rangkaian logika.
distributif (penBebaran):
— A . (B + C) = A . B + A . C
— A + B . C = (A + B) . (A + C)
d. Hukum Absorbsi, Kombinasi, dan Konsensus
absorbsi (penghilangan): │ kombinasi:
— A + A . B = A — A . (A + B) = A
— A . B + A . B = A — (A + B) . (A + B) = A
konsensus:
— A . B + B . C + A̅ . C = A . B + A̅ . C
— (A + B) . (B + C) . (A̅ + C) = (A + B) . (A̅ + C)
e. Sifat Identitas lain
Sifat-sifat identitas lain:
— A + A̅ . B = A + B
— A . (A̅ + B) = A . B
Beberapa sifat pada teorema Boolean dapat dipergunakan untuk menyederhanakan suatu pernyataan logika, dengan kata lain suatu pernyataan kompleks akan dapat disederhanakan dengan menggunakan konsep teorema Boolean tanpa mengubah fungsi logikanya.
E. PRIORITAS OPERASI ALJABAR BOOLEAN
Pada teorema Aljabar Boolean dikenal 3 operasi logika yaitu operasi logika OR,AND, dan NOT sehingga dapat dihasilkan berbagai bentuk fungsi logika. Demi memudahkan dalam pengoperasianya maka dipergunakan tanda kurung untuk memberikan prioritas. Pada dasarnya konsep prioritas operasi ini tidak ada bedanya dengan konsep prioritas pada operasi aritmatika.
Berikut aturan prioritas operasi Aljabar Booolean
1. Bila terdapat tanda kurung maka diselesaikan terlebih dahulu.
2. Bila tidak terdapat tanda kurung, maka suatu penyataan logika diselesaikan dengan urutan: NOT, AND setelah itu OR.
F. FUNGSI BOOLEAN
Dalam Aljabar Boolean, variable x disebut peubah Boolean. Fungsi Boolean adalah ekspresi yang dibentuk dari peubah Boolean melalui operasi penjumlahan, perkalian, atau komplemen.
Contoh:
f(x) = x
f(x,y) = x²y + x
3. g(x,y,z) = (x + y)' + xyz'
Selain dengan cara aljabar, fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran. Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menyatakan seluruh kemungkinan nilai peubah dari fungsinya. Jika suatu fungsi Boolean memuat n peubah, maka banyaknya baris dalam tabel kebenaran ada 2".
Contoh: f(x,y,z) = xyz' + x
G. BENTUK STANDAR FUNGSI BOOLEAN
Ada 2 bentuk standar fungsi Boolean :
Sum of Product (SOP) / Minterm
Product of Sum (POS) / Maxterm
Sum of Product Ciri - ciri:
Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah perkalian.
Setiap suku (term) dijumlahkan.
Setiap suku mengandung semua variabel. Contoh:
f(x,y) = xy + x'y
g(x,y,z) = x'yz + xyz + x'y'z' Cara membaca:
Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 1.
Variabel dengan komplemen dibaca 0.
Product of Sum Ciri - ciri:
Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah penjumlahan.
Setiap suku (term) dikalikan.
Setiap suku mengandung semua variabel. Contoh:
f(x,y) = (x'+ y) (x + y')
g(x,y,z) = (x + y + z') (x' + y + z) (x + y + z) Cara membaca:
Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 0.
Variabel dengan komplemen dibaca 1.
H. KONVERSI BENTUK FUNGSI
Konversi ke bentuk SOP Contoh 1: f(x,y) = x + x’y
= x.1 + x’y (lengkapi variabel disetiap suku dgn cara mengalikan dengan 1)
= x (y + y’) + x’y (ganti 1 dengan menggunakan hukum komplemen untuk memunculkan variabel yang belum ada)
= xy + xy’ + x’y (gunakan hukum distributif)
= m3 + m2 + m1
= (1,2,3)
Contoh 2: f(x, y, z) = x + y' * z = x * 0.1 * 0.1 +1.y^ prime z = x(y + y')(z + z') + (x + x') * y' * z = x(yz + y * z' + y' * z + y' * z') + x * y' * z + x' * y' * z = xyz + xy * z' + x * y' * z + x * y' * z' + x * y' * z + x' * y' * z = m 7+m6+m5+m4+m5+m1 = boxed 8(1, 4, 5, 6, 7)
Konversi ke bentuk POS Contoh 1 : f(x,y) = x + x'y
= (x + x') (x + y) (gunakan hukum distributif untuk menghilangkan perkalian pada setiap suku)
= 1. (x + y)
= (x + y)
=M0
=(0)
= (x + y') (x + z)
= ((x + y') + 0) ((x+z) + 0) (
hukum identitas)
= ((x + y') + zz') ((x+z) + yγ') (hukum komplemen untuk memunculkan variabel yg belum ada)
= (x + y + z) (x + y + z) (x+y+z) (x+y+z)
M2. M3. M0. M2
= (0,2,3)
Dengan hukum De Morgan diperoleh bahwa: f'(x,y,z) = x'yz' + xyz + xyz + xyz
= m2+m3+m0+m2
= ? (0,2,3)
Kesimpulan:
mj' = Mj
Komentar
Posting Komentar