PETA KARNAUGH
SISTEM DIGITAL
(PETA KARNAUGH)
K-map adalah metode penyederhanaan rangkaian logika yang dikembangkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Melalui metode K-Map, kita tidak memerlukan lagi pengurangan ekspresi SOP karena dengan mengikuti pendekatan yang sistematis akan selalu dihasilkan ekpresi logika SOP yang paling sederhana untuk rangkaian logika.
K-map sangat mirip dengan tabel kebenaran yang secara grafis menunjukkan level logika keluaran dari ekspresi Boolean untuk masing-masing kemungkinan kombinasi variabel masukan. Setiap level logika keluaran akan ditempatkan dalam sel yang terpisah pada K-map. K-map dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi logika yang memiliki dua, tiga, empat, lima, atau enam variabel masukan yang berbeda. Pada pembahasan ini, kita akan membahas bagaimana meminimalkan ekpresi yang memiliki dua, tiga, dan empat variabel masukan.
Banyaknya sel dalam K-map sangat ditentukan oleh jumlah variabel yang digunakan. Jumlah sel dalam K-map sama dengan jumlah kombinasi dalam tabel kebenaran, yaitu 2N (N adalah jumlah variabel masukan). K-map dengan dua variabel masukan membutuhkan 22 atau sama dengan 4 sel. K-map dengan tiga variabel masukan membutuhkan 23 atau sama dengan 8 sel. K-map dengan empat variabel masukan membutuhkan 24 atau sama dengan 16 sel. Contoh K-map diperlihatkan pada Gambar.
Setiap sel merupakan tempat untuk level logika keluaran dari kombinasi variabel masukan. Contoh pada K-map dengan dua variabel masukan A dan B, dapat kita lihat dengan menempatkan kemungkinan variabel A pada bagian baris dan kemungkinan variabel B pada bagian kolom maka sel pada bagian kiri atas merupakan level logika keluaran untuk kombinasi variabel masukan AB, sel pada bagian kanan atas merupakan level logika keluaran untuk kombinasi variabel masukan AB, sel pada bagian kiri bawah merupakan level logika keluaran untuk kombinasi variabel masukan AB, dan sel pada bagian kanan bawah merupakan level logika keluaran untuk kombinasi variabel masukan A B.
Perlu kita perhatikan bahwa setiap perpindahan dari satu sel ke sel yang berdekatan hanya berbeda satu variabel masukan. Contoh pada K-map empat variabel masukan, sel bagian kiri atas adalah ABCD, maka sel di bawahnya yang berdekatan adalah ABCD. Jadi hanya satu variabel yang berganti, yaitu B dan B. Selanjutnya, sel di samping kanan yang berdekatan dengan sel ABCD adalah ABCD. Jadi hanya satu yang berganti, yaitu D dan D.
A. Adapun tahapan-tahapan untuk menggunakan metoda K-map adalah sebagai berikut:
1. Ubahlah bentuk ekspresi Boolean ke dalam bentuk ekspresi logika SOP atau tentukan tabel kebenaran dari ekpresi Boolean.
2. Masukan logika '1' pada sel yang kombinasinya ada pada ekspresi SOP dan level logika O pada sel yang tidak ada pada ekspresi logika SOP.
3. Lingkari sel berlogika '1' yang saling berdekatan (ke atas, ke bawah, ke kiri, ke kanan) hingga membentuk kelompok dengan 2 sel, 4 sel atau 8 sel. Kelompok tidak berbentuk diagonal. Jika tidak ada sel yang berdekatan maka lingkari sel tersebut.
4. Tentukan ekspresi SOP berdasarkan hasil pengelompokan. Setiap pengelompokan akan mengeliminasi variabel. Kelompok dengan 2 sel akan mengeliminasi satu variabel. Kelompok dengan 4 sel akan mengeliminasi dua variabel. Kelompok dengan 8 sel akan mengeliminasi tiga variabel.
B. Pemindahan logika keluaran dari kebenaran ke K-Map
Berikut ini, kita akan membahas bagaimana memindahkan logika keluaran dari tabel kebenaran pada K-map dengan jumlah dua variabel masukan, tiga variabel masukan dan empat variabel masukan.
Pada Gambar diperlihatkan bagaimana memasukkan logika keluaran dengan dua variabel masukan A dan B pada K-map. K-map dengan dua variabel masukan memiliki 4 sel. Pada K-map dengan dua variabel masukan, kita dapat menempatkan satu variabel untuk kombinasi sel-sel baris dan satu variabel untuk kombinasi sel-sel kolom. Masing-masing sel ditempati oleh level logika keluaran perpotongan kedua varibel tersebut. Pada sel baris pertama (A) dan kolom pertama (B) terdapat perpotongan ĀB. Pada baris pertama dan kolom kedua(B) terdapat perpotongan AB. Pada sel baris kedua (A) dan kolom.
K-map dengan empat variabel akan memiliki 16 sel dengan ketentuan membentuk empat sel baris dan empat sel kolom. Masing-masing baris dan kolom memuat kemungkinan dua level logika variabel masukan. Pada Gambar 3.26, kita dapat melihat bagaimana menggunakan K-map dengan empat sel baris yang diisi oleh kemungkinan level logika variabel masukan A dan B ( AB , AB , AB dan AB ) dan empat sel kolom dari kemungkinan level logika variabel masukan C ( CD, CD , CD dan CD) .
C. Pemindahan logika keluaran dari ekspresi logika SOP ke K-Map
Selain melalui tabel kebenaran, kita dapat mengisikan level logika keluaran dari suatu ekspresi SOP. Berikut di bawah ini contoh bagaimana memasukkan level logika keluaran dari suatu ekspresi SOP ke sel-sel pada K-map.
Contoh 1 : S= ABC+ABC+AB(C+C)
Langkah awal kita harus mengubah ekspresi AB(C+C) ke dalam bentuk SOP lengkap.
S = ABC + ABC + AB(C+C)
S = ABC+ABC + ABC + ABC
Selanjutnya kita tempatkan masing-masing kombinasi variabel masukan pada sel-sel K-map yang bersesuaian. Setiap sel yang kombinasi variabelnya terdapat pada persamaan kita berikan nilai logika '1'. Sebaliknya untuk sel-sel yang kombinasi variabelnya tidak terdapat pada persamaan kita berikan nilai logika 'O'.
D. Penentuan kelompok pada K-Map
Jenis pengelompokan sel yang bernilai logika 1 pada metode K-Map ini ada tiga :
Pair (Pasangan), quad, Oket
1. Pair
Pair (pasangan) adalah pengelompokan dua buah sel dengan level logika '1' yang saling berdekatan baik ke samping kiri maupun kanan atau ke atas dan ke bawah. Hasil dari kelompok pair adalah dapat menghilangkan satu variabel. Gambar memperlihatkan contoh beberapa kelompok pair.
Jika dimisalkan variabel keluaran s maka persamaan SOP sederhana yang diperoleh dari contoh K-Map di atas adalah S= AB C + ABC + ACD . Kita dapat membuktikan hasil persamaan tersebut menggunakan kaidah Boolean sebagai berikut:
S=ABCD+ABCD+ABC D+ABCD+ABCD + ABCD
S= ABC D + D + ABC D + D + ACD B + B
S= ABC 1 + ABC 1+ ACD 1 S=ABC + ABC + ACD
Terbukti bahwa hasil penyederhanaan menggunakan K-Map akan menghasilkan persamaan yang sederhana.
2. Quad
Quad adalah pengelompokan empat buah sel yang bernilai logika '1' yang saling berdekatan dan membentuk persegi empat. Hasil dari kelompok quad adalah dapat menghilangkan dua buah variabel. Gambar memperlihatkan contoh beberapa kelompok quad.
Jika dimisalkan variabel keluaran s maka persamaan SOP sederhana yang diperoleh dari contoh K-Map pada Gambar adalah S= AB + AC Kita dapat membuktikan hasil persamaan tersebut menggunakan kaidah Boolean sebagai berikut:
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD + ABCD++ABCD + ABCD + ABCD S= A B CD + CD + CD +CD +AC BD + BD + BD+ BD
S= A B CD +D + C D + D + ACBD + D + B D+ D
S = A B C 1+C 1+AC B 1+ B 1
S= A B C + C + ACB + B
S = A B 1 + AC 1
S= AB + AC
3.Octet
Octet adalah pengelompokan delapan buah level logika keluaran 1 yang sering berdekatan membentuk persegi empat. Hasil dari kelompok octet akan dapat menghilangkan tiga variabel .Gambar memperlihatkan contoh keompok octet.
jika dimisalkan variabel keluar s maka persamaan SOP sederhana yang diperoleh dari contoh K-Map di atas adalah S=B. Kita dapat membuktikan hasil persamaan tersebut menggunakan kaidah boolean sebagi berikut :
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD++ABCD+ABCD+ABCD
S=B AC D+ACD+ACD+ACD+AC D++ACD+ACD+ACD
S=B AC D+CD+CD+CD+ACD++CD+CD+CD
S=B A C D +D+CD+D+ACD++D+CD+D
S=BAC 1+C1+AC 1+C1
S=BAC +C+AC+C
S=BA1+A1
S=BA+A
S=B1
S=B
E. Istilah dalam penentuan kelompok pada K-Map
1. Overlapping
Pada saat melakukan pengelompokan, kita boleh menggunakan satu atau beberapa sel yang berlogika '1' pada lebih dari 1 kelompok. Hal ini dilakukan untuk mendapatkan ekspresi Boolean yang lebih sederhana. Gambar merupakan contoh pertama pengelompokan yang memiliki sel yang overlapping.
Jika kita perhatikan hasil pengelompokan pada Gambar maka diperoleh persamaan Boolean:
S= A B C D + BD
Sementara jika lakukan overlapping maka D pada ABCD dapat dihilangkan hingga diperoleh persamaan Boolean:
S=A B C + BD
2. Eliminating redundat (Penghapusan kelompok berlebih)
Pada saat pengelompokan sel berlogika 1' sangat dimungkinkan terdapat sel berlogika ^ prime 1' yang tergabung ke beberapa kelompok. Namun, kita harus menghindari adanya kelompok yang tidak perlu atau berlebih yaitu kelompok yang terbentuk dari sel-sel berlogika '1' yang telah tergabung ke kelompok masing-masing. Pada Gambar kita dapat melihat contoh adanya kelompok berlebih.
F. Contoh penyederhanaan dengan metode peta karnaugh
Pada bagian ini kita akan mencoba menyederhanakan persamaan logika menggunakan metode peta Karnaugh.Contoh 1: S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD++ABCD+ABCD+ABCD Langkah pertama, kita tempatkan masing-masing kombinasi variabel masukan pada sel-sel K-map yang bersesuaian dan kita berikan nilai logika '1'. Kemudian kita lakukan pengelompokan dimulai dari yang terbesar jika ada. Hasil penyelesaian dari contoh ini dapat dilihat pada gambar.
Pada contoh di atas, dimungkinkan adanya dua hasil yang sedikit berbeda, yaitu
S= ABC +B CD + ACD + ABC
S=B C D+ BCD + ABC + ABC
Kita dapat gunakan salah satu dari hasil di atas.
Komentar
Posting Komentar